(12分)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于点D,且BD=8cm.点 M从点A出发,沿AC的方向匀速运动,速度为2cm/s;同时直线PQ由点B出发,沿BA 的方向匀速运动,速度为1cm/s,运动过程中始终保持PQ∥AC,直线PQ交AB于点P、交 BC于点Q、交BD于点F.连接PM,设运动时间为ts(0<t<5). (1)当t为何值时,四边形PQCM是平行四边形? (2)设四边形PQCM的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由; (4)连接PC,是否存在某一时刻t,使点M在线段PC的垂直平分线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由. |
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∴,解得
答:当s时,四边形PQCM是平行四边形。
(2)过P作PE⊥AC,交AC于E。
∵PQ∥AC
∴△PBQ∽△ABC,∴△PBQ是等腰三角形,PQ=PB=,
∴,即,解得,
∴
又∵,
∴
答:y与t之间的函数关系式是
(3)
当时,
解得,(舍去)
答:当时,S四边形PQCM=S△ABC
(4)假设存在某一时刻t,使点M在线段PC的垂直平分线上,则MP=MC,
过M作MH⊥AB,交AB于H,由△AHM∽△ADB
∴,又
∴,
∴
即
在Rt△HMP中,
又∵
由
∴
解得:(舍去)
答:当s时,点M在线段PC的垂直平分线上。
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