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不等式的性质
已知实数a,b,c满足不等式|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|,求证:a+b+c=0....
2023-05-22 20:07
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数学
1723
1
3
这道
初中
数学的题目是:
已知实数a,b,c满足不等式|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|,求证:a+b+c=0.
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1条回答
神之归来
1楼-- · 2023-05-22 20:23
这道
初中
数学题的正确答案为:
证明:∵|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|
∴a
2
≥(b+c)
2
,b
2
≥(c+a)
2
,c
2
≥(a+b)
2
∴a
2
+b
2
+c
2
≥(b+c)
2
+(c+a)
2
+(a+b)
2
=2(a
2
+b
2
+c
2
)+2ab+2bc+2ca
∴a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca≤0
∴(a+b+c)
2
≤0,而(a+b+c)
2
≥0
∴a+b+c=0.
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∴a2≥(b+c)2,b2≥(c+a)2,c2≥(a+b)2
∴a2+b2+c2≥(b+c)2+(c+a)2+(a+b)2=2(a2+b2+c2)+2ab+2bc+2ca
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0
∴(a+b+c)2≤0,而(a+b+c)2≥0
∴a+b+c=0.
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