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代数式的求值
已知二次方程x2+x-1=0的两根为α、β,求2α5+β3的值....
2023-05-04 21:34
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站内问答
/
数学
1089
1
6
这道
初中
数学的题目是:
已知二次方程x
2
+x-1=0的两根为α、β,求2α
5
+β
3
的值.
1条回答
中耀
2023-05-04 21:55
这道
初中
数学题的正确答案为:
∵二次方程x
2
+x-1=0的两根为α、β,
∴α
2
+α-1=0,β
2
+β-1=0,
则α
5
=α•α
2
•α
2
=α•(1-α)(1-α)=(2α-1)(1-α)=5α-3
β
3
=β•β
2
=β(1-β)=β-β
2
=β-(1-β)=2β-1
∴2α
5
+β
3
=2(5α-3)+2β-1=10α+2β-7,
根据根与系数的关系有α+β=-1,
则β=-1-α,
所以原式=10α+2(-1-α)-7=8α-9
解方程可知:α=
-1±
5
2
,
所以原式=-13±4
5
.
即2α
5
+β
3
的值为-13±4
5
.
解题思路
-1±
5
2
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∴α2+α-1=0,β2+β-1=0,
则α5=α•α2•α2=α•(1-α)(1-α)=(2α-1)(1-α)=5α-3
β3=β•β2=β(1-β)=β-β2=β-(1-β)=2β-1
∴2α5+β3=2(5α-3)+2β-1=10α+2β-7,
根据根与系数的关系有α+β=-1,
则β=-1-α,
所以原式=10α+2(-1-α)-7=8α-9
解方程可知:α=
所以原式=-13±4
即2α5+β3的值为-13±4
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