如图,D是△ABC中AB边的中点,△BCE和△ACF都是等边三角形, M、N分别是CE、CF的中点. 小题1:求证:△DMN是等边三角形; 小题2:连接EF,Q是EF中点,CP⊥EF于点P. 求证:DP=DQ. 同学们,如果你觉得解决本题有困难,可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考: 小聪同学发现此题条件中有较多的中点,因此考虑构造三角形的中位线,添加出了一些辅助线;小慧同学想到要证明线段相等,可通过证明三角形全等,如何构造出相应的三角形呢?她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置. |
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小题1:取AC的中点G,连接NG、DG.
∴DG=BC,DG∥BC;△NGC是等边三角形.
∴NG = NC,DG =" CM."
∵∠1 + ∠2 = 180º,
∴∠NGD + ∠2 = 240º.
∵∠2 + ∠3 = 240º,
∴∠NGD =∠3.
∴△NGD≌△NCM .
∴ND =" NM" ,∠GND =∠CNM.
∴∠DNM ="∠GNC" = 60º.
∴△DMN是等边三角形.
小题1:连接QN、PM.
∴QN =CE=" PM."
Rt△CPE中,PM =EM,∴∠4=" ∠5."
∵MN∥EF,∴∠5= ∠6,∠7= ∠8.
∵NQ∥CE,∴∠7= ∠4.
∴∠6= ∠8.
∴∠QND=" ∠PMD."
∴△QND≌△PMD.
∴DQ= DP.
小题1:先证出NG = NC,DG = CM,再证出△NGD≌△NCM,得出△DMN是等边三角形;
小题1:根据题意得出QN =CE= PM,然后证明△QND≌△PMD,从而得出DQ= DP.
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