一元二次方程根与系数的关系

已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2-x1＞1．（1）试证明c＞0；（2）证明b2＞2（b+2c）；（3）对于...

2022-12-23 00:39发布

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这道初中数学的题目是：
已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2-x1＞1．
（1）试证明c＞0；
（2）证明b2＞2（b+2c）；
（3）对于二次函数y=x2+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0＜x0＜x1时，试比较y0与x1的大小．
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1条回答
燃烧的冰
1楼-- · 2022-12-23 00:53
这道初中数学题的正确答案为：
（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即x2+（b-1）x+c=0，
∵x1，x2是该方程的两个实数根
∴x1+x2=-（b-1），x1•x2=c，
而x1＞0，x2＞x1+1＞0，
∴c＞0；

（2）（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2=（b-1）2-4c
=b2-2b-4c+1，
∵x2-x1＞1，∴（x2-x1）2＞1，
于是b2-2b-4c+1＞1，即b2-2b-4c＞0，
∴b2＞2（b+2c）；

（3）当0＜x0＜x1时，有y0＞x1，
∵y0=x02+bx0+c，x12+bx1+c=x1，
∴y0-x1=x02+bx0+c-（x12+bx1+c）=（x0-x1）（x0+x1+b），
∵0＜x0＜x1，
∴x0-x1＜0，
又∵x2-x1＞1
∴x2＞x1+1，x1+x2＞2x1+1，
∵x1+x2=-（b-1）∴-（b-1）＞2x1+1，
于是2x1+b＜0
∵0＜x0＜x1
∴x0+x1+b＜0，
由于x0-x1＜0，x0+x1+b＜0，
∴（x0-x1）（x0+x1+b）＞0，即y0-x1＞0，
∴当0＜x0＜x1时，有y0＞x1．
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