一元二次方程根与系数的关系

求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k-1）=0的根都是整数的k值．...

2022-12-23 19:30发布

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这道初中数学的题目是：
求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k-1）=0的根都是整数的k值．
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1条回答
凉
1楼-- · 2022-12-23 19:55
这道初中数学题的正确答案为：
分k=0和k≠0两种情况讨论．
当k=0时，所给方程为x-1=0，有整数根x=1．
当k≠0时，所给方程为二次方程．
设两个整数根为x1和x2，则有
x1+x2=-
k+1
k
=-1-
1
k
，①
x1x2=
k-1
k
=1-
1
k
．②

由①-②得
x1+x2-x1x2=-2⇒（x1-1）（x2-1）=3．
=1×3=（-1）×（-3）．
有
x1-1=1
x2-1=3
x1-1=-1
x2-1=-3
x1-1=3
x2-1=1
x1-1=-3
x2-1=-1.

故x1+x2=6或x1+x2=-2，
即-1-
1
k
=6或-1-
1
k
=-2．
解得k=-
1
7
或k=1．
又△=（k+1）2-4k（k-1）=-3k2+6k+1，当k=-
1
7
或k=1时，都有△＞0．
所以，满足要求的k值为
k=0，k=-
1
7
，k=1．
解题思路
x1+x2=-
k+1
k
=-1-
1
k
，①
x1x2=
k-1
k
=1-
1
k
．②

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