小题1:问题1 已知:如图1,三角形ABC中,点D是AB边的中点,AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE,BF交于点M,连接DE,DF.若DE=DF,则的值为_____. 小题2:拓展 问题2 已知:如图2,三角形ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在三角形ABC的内部,且∠MAC=∠MBC,过点M分别作ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接DE,DF.求证:DE=DF. 小题3:推广 问题3 如图3,若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”,其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论. |
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小题1:的值为 1
小题2:证明:如图9.
∵CB=CA,
∴∠CAB=∠CBA.
∵∠MAC=∠MBC,
∴∠CAB-∠MAC=∠CBA-∠MBC,
即∠MAB=∠MBA.
∴MA=MB.
∵ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分别为点E,F,
∴∠AFM=∠BEM=90°.
在△AFM与△BEM中,
∠AFM=∠BEM,
∠MAF =∠MBE,
MA=MB,
∴△AFM≌△BEM.
∵点D是AB边的中点,
∴BD = AD.
在△BDE与△ADF中,
BD = AD,
∠DBE =∠DAF,
BE = AF,
∴△BDE≌△ADF.
∴DE=DF.
小题3:解:DE=DF.
证明:分别取AM,BM的中点G,H,连接DG,FG,DH,EH.(如图10)
∵点D,G,H分别是AB,AM,BM的中点,
∴DG∥BM,DH∥AM,且DG=BM,DH=AM.
∴四边形DHMG是平行四边形.
∴∠DHM =∠DGM,
∵ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分别为点E,F,
∴∠AFM=∠BEM=90°.
∴FG=AM= AG,EH=BM= BH.
∴FG= DH,DG= EH, ∠GAF =∠GFA,∠HBE =∠HEB.
∴∠FGM =2∠FAM,∠EHM =2∠EBM.
∵∠FAM=∠EBM,
∴∠FGM =∠EHM.
∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM,即∠DGF=∠DHE.
在△EHD与△DGF中,
EH = DG,
∠EHD =∠DGF,
HD = GF,
∴△EHD≌△DGF.
∴DE=DF.
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