一元二次方程根与系数的关系

已知α，β是关于x的一元二次方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（α-1）2+（β-1）2的最小值为______．...

2022-12-24 03:06发布

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这道初中数学的题目是：
已知α，β是关于x的一元二次方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，则（α-1）2+（β-1）2的最小值为______．
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1条回答
抱回家
1楼-- · 2022-12-24 03:27
这道初中数学题的正确答案为：
∵一元二次方程x2-2ax+a+6=0有两个实根；
∴△=4a2-4×（a+6）=4a2-4a-24≥0；
解得：a≤-2或a≥3；
∵α，β是关于x的一元二次方程x2-2ax+a+6=0的两个实根；
∴α+β=2a，α•β=a+6；
（α-1）2+（β-1）2=α2+1-2α+β2-2β+1=α2+β2-2（β+α）+2
=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2
=4a2-2×（a+6）-2×2a+2
=4a2-6a-10
=4（a-
3
4
）2-
49
4
；
∵a≤-2或a≥3；
∴（a-
3
4
）2≥（
9
4
）2；
∴4（a-
3
4
）2-
49
4
≥8；
则（α-1）2+（β-1）2的最小值为8．
解题思路 34

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