这道初中数学题的正确答案为：

（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°. ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC. ∴△ABE≌△ACD. ∴CD=BE.    ……………………………………………………………………1分 ∠ABE=∠ACD． ∵M、N分别是BE、CD的中点， 即BM=BE，CN=CD. ∴BM= CN. 又AB=AC， ∴△ABM≌△ACN． ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．  ………………………………………………2分 ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°． ∴△AMN是等边三角形．    …………………………………………………3分 （2）解：作EF⊥AB于点F， 在Rt△AEF中， ∵∠EAB=30°，AE=AD=， ∴EF=.    …………………………………………………………………4分 ∵M是BE中点， 作MH⊥AB于点H， ∴MH∥EF，MH=EF=.    ……………………………………………5分 取AB中点P，连接MP，则MP∥AE，MP=AE. ∴∠MPH=30°，MP=． ∴在Rt△MPH中，PH=. ∴AH=AP+PH=.   .………………………………………………………6分 在Rt△AMH中，AM=. .…………………………7分

解题思路 略