这道初中数学题的正确答案为：

C

解题思路 ∵a+b=-2，
∴a=-b-2，b=-2-a，
又∵a≥2b，
∴-b-2≥2b，a≥-4-2a，
移项，得-3b≥2，3a≥-4，
解得，b≤-＜0（不等式的两边同时除以-3，不等号的方向发生改变），a≥-；
由a≥2b，得≤2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）；
A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；
B、当-≤a＜0时，≥，小值是，无最大值；故本选项错误；
C、有最大值2；故本选项正确；
D、无最小值；故本选项错误．
故选C．