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数学常识
已知二次函数y=x2-2mx+1.记当x=c时,函数值为yc,那么,是否存在实数m,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a,b,总有ya+yb≥1....
2023-06-14 19:05
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/
数学
1111
1
5
这道
初中
数学的题目是:
已知二次函数y=x
2
-2mx+1.记当x=c时,函数值为y
c
,那么,是否存在实数m,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a,b,总有y
a
+y
b
≥1.
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1条回答
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1楼-- · 2023-06-14 19:24
这道
初中
数学题的正确答案为:
设y在0≤x≤1的最小值为M,原问题等价于2M≥1,M≥
1
2
,
二次函数y=x
2
-2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线,
①当对称轴x=m≤0时,由图象可知,x=0时,y
最小
=1,这时1≥
1
2
成立;
②当对称轴x=m,0<m<1时,由图象可知x=m时,y
最小
且y
最小
=1-m
2
,有1-m
2
≥
1
2
,m
2
≤
1
2
,故有0<m≤
2
2
;
③当对称轴x=m,m≥1时,由图象可知,x=1时,y
最小
且y
最小
=2-2m,这时有2-2m≥
1
2
,m≤
3
4
与m≥1矛盾.
综上可知,满足条件的m存在,且m的取值范围是m≤
2
2
.
解题思路
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2
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二次函数y=x2-2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线,
①当对称轴x=m≤0时,由图象可知,x=0时,y最小=1,这时1≥
②当对称轴x=m,0<m<1时,由图象可知x=m时,y最小且y最小=1-m2,有1-m2≥
③当对称轴x=m,m≥1时,由图象可知,x=1时,y最小且y最小=2-2m,这时有2-2m≥
综上可知,满足条件的m存在,且m的取值范围是m≤
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