这道初中数学题的正确答案为：

（1）由题意可知对任意实数x都有y≥2x， ∴当x=1时，y≥2； 且当0＜x＜2时，总有y≤ 1 2 (x+1)2成立， 故当x=1，y≤2， ∴当x=1时，y=2，故二次函数y=ax2+bx+c经过（1，2）点， ∴a+b+c=2； （2）ax2+bx+c≥2x， ax2+（b-2）x+c≥0， 由（1）知b=2-a-c，代入得△=（a+c）2-4ac≥0，（a-c）2≥0， 所以c=a，b=2-2a． 再列得ax2+bx+c≤ 1 2 （x+1）2，把c=a，b=2-2a代入可得 （a- 1 2 ）x2-2（a- 1 2 ）x+a- 1 2 ≤0，（a- 1 2 ）（x-1）2≤0， 因为0＜x＜2，（x-1）≥0， 故a≤ 1 2 ． 根据图象法可得此抛物线要永远在y=2x这条一次函数上方满足a＞0． 综上所述，a的取值范围是0＜a≤ 1 2 ，a-b+c=4a-2，把a的取值范围代入可得-2＜a-b+c≤0．

解题思路 12