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数学常识
已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数.是否存在n,使得5n+3是质数?如果存在,请求出所有n的值;如果不存在,请说明理由....
2023-06-16 09:16
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数学
1401
1
5
这道
初中
数学的题目是:
已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数.是否存在n,使得5n+3是质数?如果存在,请求出所有n的值;如果不存在,请说明理由.
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1楼-- · 2023-06-16 09:21
这道
初中
数学题的正确答案为:
如果2n+1=k
2
,3n+1=m
2
,
则5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4k
2
-m
2
=(2k+m)(2k-m).
因为5n+3>(3n+1)+2=m
2
+2>2m+1,
所以2k-m≠1(否则5n+3=2k+m=2m+1).
从而5n+3=(2k+m)(2k-m)是合数.
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则5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4k2-m2=(2k+m)(2k-m).
因为5n+3>(3n+1)+2=m2+2>2m+1,
所以2k-m≠1(否则5n+3=2k+m=2m+1).
从而5n+3=(2k+m)(2k-m)是合数.
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