这道初中数学题的正确答案为：

2008

解题思路
因为当x=时和当x=k时，分别代入代数式，再把它们所得的和相加的1.2，3，…，2009，，，，…，恰好分别对应互为相反数，从而问题的得解．
解：∵当x=时，=，
当x=k时，=，
故这两值相加得：+=1，
∴当x依次取1，2，3，…2009，，，，…，时，
原式=+++…++++…+，
=+（+）+（+）+…+（+），
=+1+1+…1，
=．
点评：本题考查因式分解在分式化简中的运用，在化简中注意不同的分式相加是一个常数．