一元二次方程根与系数的关系

如果方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两个根是x1，x2，（1）求证：x1+x2=-p，x1•x2=q；（2）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠...

2022-12-23 22:09发布

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1973 1 6
这道初中数学的题目是：
如果方程x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两个根是x1，x2，
（1）求证：x1+x2=-p，x1•x2=q；
（2）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0）求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（3）已知a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求
a
b
+
b
a
的值．
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1条回答
无烟
1楼-- · 2022-12-23 22:26
这道初中数学题的正确答案为：
（1）证法1：∵x2+px+q=0，
∴x1=
p2-4q
-p
2
，x2=
-
p2-4q
-p
2
．
∴x1+x2=
p2-4q
-p
2
+
-
p2-4q
-p
2
=-p，
∴x1x2=
p2-4q
-p
2
×
-
p2-4q
-p
2
=q．
证法2：∵x2+px+q=0的两根为x1，x2．
∴(x-x1)(x-x2)=x2+px+q，
即x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+q．
∴x1+x2=-p，x1x2=q．

（2）设关于x的方程x2+mx+n=0的两根为x1、x2，则有：x1+x2=-m，x1•x2=n，且由已知所求方程的两根为
1
x1
、
1
x2
．
∴
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1•x2
=
-m
n
．
1
x1
•
1
x2
=
1
x1•x2
=
1
n
，
∴所求方程为x2-
-m
n
x+
1
n
=0，即nx2+mx+1=0（n≠0）；

（3）∵a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，
∴a，b是方程x2-15x-5=0的两根．
∴a+b=15，ab=-5，
∴
a
b
+
b
a
=
(a+b)2-2ab
ab
=
(a+b)2
ab
-2=
152
-5
-2=-47．
解题思路
p2-4q
-p2

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