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分解因式:(1)x9+x6+x3﹣3;(2)(m2﹣1)(n2﹣1)+4mn;(3)(x+1)4+(x2﹣1)2+(x﹣1)4;(4)a3b﹣ab3+a2+b2...
2023-04-28 15:07
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站内问答
/
数学
617
1
6
这道
初中
数学的题目是:
分解因式:
(1)x
9
+x
6
+x
3
﹣3;
(2)(m
2
﹣1)(n
2
﹣1)+4mn;
(3)(x+1)
4
+(x
2
﹣1)
2
+(x﹣1)
4
;
(4)a
3
b﹣ab
3
+a
2
+b
2
+1.
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1条回答
多希望我的未来有你
1楼-- · 2023-04-28 15:29
这道
初中
数学题的正确答案为:
(1)(x﹣1)(x
2
+x+1)(x
6
+2x
3
+3)
(2)(mn+m﹣n+1)(mn﹣m+n+1)
(3)(3x
2
+1)(x
2
+3)
(4)(a
2
﹣ab+1)(b
2
+ab+1)
解题思路
(1)首先将﹣3拆成﹣1﹣1﹣1,多项式变为(x
9
﹣1)+(x
6
﹣1)+(x
3
﹣1),然后分别利用公式法分解因式即可求解;
(2)首先将4mn拆成2mn+2mn,多项式变为(m
2
n
2
+2mn+1)﹣(m
2
﹣2mn+n
2
),然后分别利用公式法分解因式即可求解;
(3)首先将(x
2
﹣1)
2
拆成2(x
2
﹣1)
2
﹣(x
2
﹣1)
2
,多项式变为[(x+1)
4
+2(x+1)
2
(x﹣1)
2
+(x﹣1)
4
]﹣(x
2
﹣1)
2
,然后利用公式法分解因式即可求解;
(4)首先添加两项+ab﹣ab,多项式变为(a
3
b﹣ab
3
)+(a
2
﹣ab)+(ab+b
2
+1),然后分别分解因式,接着提取公因式即可求解.
解:(1)原式=x
9
+x
6
+x
3
﹣1﹣1﹣1
=(x
9
﹣1)+(x
6
﹣1)+(x
3
﹣1)
=(x
3
﹣1)(x
6
+x
3
+1)+(x
3
﹣1)(x
3
+1)+(x
3
﹣1)
=(x
3
﹣1)(x
6
+2x
3
+3)
=(x﹣1)(x
2
+x+1)(x
6
+2x
3
+3);
(2)原式=(m
2
﹣1)(n
2
﹣1)+2mn+2mn
=m
2
n
2
﹣m
2
﹣n
2
+1+2mn+2mn
=(m
2
n
2
+2mn+1)﹣(m
2
﹣2mn+n
2
)
=(mn+1)
2
﹣(m﹣n)
2
=(mn+m﹣n+1)(mn﹣m+n+1);
(3)原式=(x+1)
4
+2(x
2
﹣1)
2
﹣(x
2
﹣1)
2
+(x﹣1)
4
=[(x+1)
4
+2(x+1)
2
(x﹣1)
2
+(x﹣1)
4
]﹣(x
2
﹣1)
2
=[(x+1)
2
+(x﹣1)
2
]
2
﹣(x
2
﹣1)
2
=(2x
2
+2)
2
﹣(x
2
﹣1)
2
=(3x
2
+1)(x
2
+3);
(4)原式=a
3
b﹣ab
3
+a
2
+b
2
+1+ab﹣ab
=(a
3
b﹣ab
3
)+(a
2
﹣ab)+(ab+b
2
+1)
=ab(a+b)(a﹣b)+a(a﹣b)+(ab+b
2
+1)
=a(a﹣b)[b(a+b)+1]+(ab+b
2
+1)
=[a(a﹣b)+1](ab+b
2
+1)
=(a
2
﹣ab+1)(b
2
+ab+1).
点评:此题主要考查了利用分组分解法分解因式,其中(4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab﹣ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.
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(2)(mn+m﹣n+1)(mn﹣m+n+1)
(3)(3x2+1)(x2+3)
(4)(a2﹣ab+1)(b2+ab+1)
(1)首先将﹣3拆成﹣1﹣1﹣1,多项式变为(x9﹣1)+(x6﹣1)+(x3﹣1),然后分别利用公式法分解因式即可求解;
(2)首先将4mn拆成2mn+2mn,多项式变为(m2n2+2mn+1)﹣(m2﹣2mn+n2),然后分别利用公式法分解因式即可求解;
(3)首先将(x2﹣1)2拆成2(x2﹣1)2﹣(x2﹣1)2,多项式变为[(x+1)4+2(x+1)2(x﹣1)2+(x﹣1)4]﹣(x2﹣1)2,然后利用公式法分解因式即可求解;
(4)首先添加两项+ab﹣ab,多项式变为(a3b﹣ab3)+(a2﹣ab)+(ab+b2+1),然后分别分解因式,接着提取公因式即可求解.
解:(1)原式=x9+x6+x3﹣1﹣1﹣1
=(x9﹣1)+(x6﹣1)+(x3﹣1)
=(x3﹣1)(x6+x3+1)+(x3﹣1)(x3+1)+(x3﹣1)
=(x3﹣1)(x6+2x3+3)
=(x﹣1)(x2+x+1)(x6+2x3+3);
(2)原式=(m2﹣1)(n2﹣1)+2mn+2mn
=m2n2﹣m2﹣n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)﹣(m2﹣2mn+n2)
=(mn+1)2﹣(m﹣n)2
=(mn+m﹣n+1)(mn﹣m+n+1);
(3)原式=(x+1)4+2(x2﹣1)2﹣(x2﹣1)2+(x﹣1)4
=[(x+1)4+2(x+1)2(x﹣1)2+(x﹣1)4]﹣(x2﹣1)2
=[(x+1)2+(x﹣1)2]2﹣(x2﹣1)2
=(2x2+2)2﹣(x2﹣1)2=(3x2+1)(x2+3);
(4)原式=a3b﹣ab3+a2+b2+1+ab﹣ab
=(a3b﹣ab3)+(a2﹣ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a﹣b)+a(a﹣b)+(ab+b2+1)
=a(a﹣b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a﹣b)+1](ab+b2+1)
=(a2﹣ab+1)(b2+ab+1).
点评:此题主要考查了利用分组分解法分解因式,其中(4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab﹣ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.
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