一元二次方程根与系数的关系

已知关于x的方程x2-2（m-1）x+m2-3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边...

2022-12-23 02:36发布

站内问答 / 数学
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这道初中数学的题目是：
已知关于x的方程x2-2（m-1）x+m2-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且tanB=
3
4
，c-b=4，若方程的两个实数根的平方和等于△ABC的斜边c的平方，求m的值．
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1条回答
糖恩
1楼-- · 2022-12-23 02:54
这道初中数学题的正确答案为：
（1）△=4（m-1）2-4（m2-3）=-8m+16，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即-8m+16＞0，
解得m＜2，
∴实数m的取值范围是m＜2；

（2）在△ABC中，∠C=90°，tanB=
3
4
，
∴
b
a
=
3
4
，
设b=3k，a=4k，
则c=
9k2+16k2
=5k，
又∵c-b=4，
∴5k-3k=2k=4，
解得k=2，
∴c=10．
不妨设原方程的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得x1+x2=2（m-1），
x1x2=m2-3，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（m-1）2-2（m2-3）
=2m2-8m+10，
由已知有：x12+x22=102，
∴2m2-8m+10=102=100，
解这个方程得m1=-5，m2=9，
又∵方程有两个不相等实数根，
必须满足m＜2，
∴m=-5．
解题思路 34

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