这道初中数学题的正确答案为：

（1）证明：令 1 2 x2-(m-3)x+ 5-4m 2 =0． 得△=[-(m-3)]2-4× 1 2 × 5-4m 2 =m2-2m+4=（m-1）2+3． ∵不论m为任何实数，都有（m-1）2+3＞0，即△＞0． ∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点． x=- -(m-3) 2× 1 2 =m-3． （2）抛物线y= 1 2 x2-(m-3)x+ 5-4m 2 的对称轴为：x=m-3， ∵抛物线上两个不同点A（n-3，n2+2）、B（-n+1，n2+2）的纵坐标相同， ∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则m-3= (n-3)+(-n+1) 2 =-1． ∴m=2． ∴抛物线的解题思路式为y= 1 2 x2+x- 3 2 ．    ∵A（n-3，n2+2）在抛物线y= 1 2 x2+x- 3 2 上， ∴ 1 2 (n-3)2+(n-3)- 3 2 =n2+2． 化简，得n2+4n+4=0． ∴n=-2．　　 （3）当2＜x＜3时， 对于y= 1 2 x2+x- 3 2 ，y随着x的增大而增大， 对于y= k x (k＞0，   x＞0)，y随着x的增大而减小． 所以当x0=2时，由反比例函数图象在二次函数图象上方， 得 k 2 ＞ 1 2 ×22+2- 3 2 ， 解得：k＞5． 当x0=3时，由二次函数图象在反比例函数图象上方， 得 1 2 ×32+3- 3 2 ＞ k 3 ， 解得k＜18． 所以k的取值范围为：5＜k＜18．

解题思路 12