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设m,n是给定的整数,4<m<n,A1A2…A2n+1是一个正2n+1边形,P={A1,A2,…,A2n+1}.求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数...
2023-05-30 18:45
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站内问答
/
数学
1310
1
6
这道
初中
数学的题目是:
设m,n是给定的整数,4<m<n,A
1
A
2
…A
2n+1
是一个正2n+1边形,P={A
1
,A
2
,…,A
2n+1
}.求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数.
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煎熬。
1楼-- · 2023-05-30 18:55
这道
初中
数学题的正确答案为:
先证一个引理:顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角,且有两个锐角时,这两个锐角必相邻.
事实上,设这个凸m边形为P
1
P
2
P
m
,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设
∠
P
m
P
1
P
2
<
π
2
,则
∠
P
2
P
j
P
m
=π-∠
P
2
P
1
P
m
>
π
2
(3≤j≤m-1)
,
更有
∠
P
j-1
P
j
P
j+1
>
π
2
(3≤j≤m-1)
.
而∠P
1
P
2
P
3
+∠P
m-1
P
m
P
1
>π,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理.
由引理知,若凸m边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻.
在凸m边形中,设顶点A
i
与A
j
为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角.
设A
i
与A
j
的劣弧上包含了P的r条边(1≤r≤n),这样的(i,j)在r固定时恰有2n+1对.
(1)若凸m边形的其余m-2个顶点全在劣弧A
i
A
j
上,而A
i
A
j
劣弧上有r-1个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为C
r-1
m-2
.
(2)若凸m边形的其余m-2个顶点全在优弧A
i
A
j
上,取A
i
,A
j
的对径点B
i
,B
j
,由于凸m边形在顶点A
i
,A
j
处的内角为锐角,
所以,其余的m-2个顶点全在劣弧B
i
B
j
上,而劣弧B
i
B
j
上恰有r个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为C
r
m-2
.
所以,满足题设的凸m边形的个数为
(2n+1)
n
r=1
(
C
m-2r-1
+
C
m-2r
)=(2n+1)(
n
r=1
C
m-2r-1
+
n
r=1
C
m-2r
)
=(2n+1)(
n
r=1
(
C
m-1r
-
C
m-1r-1
)+
n
r=1
(
C
m-1r+1
-
C
m-1r
))
=(2n+1)(C
n+1
m-1
+C
n
m-1
).
故顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数为:(2n+1)(C
n+1
m-1
+C
n
m-1
).
解题思路
π
2
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事实上,设这个凸m边形为P1P2Pm,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设∠PmP1P2<
更有∠Pj-1PjPj+1>
而∠P1P2P3+∠Pm-1PmP1>π,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理.
由引理知,若凸m边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻.
在凸m边形中,设顶点Ai与Aj为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角.
设Ai与Aj的劣弧上包含了P的r条边(1≤r≤n),这样的(i,j)在r固定时恰有2n+1对.
(1)若凸m边形的其余m-2个顶点全在劣弧AiAj上,而AiAj劣弧上有r-1个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为Cr-1m-2.
(2)若凸m边形的其余m-2个顶点全在优弧AiAj上,取Ai,Aj的对径点Bi,Bj,由于凸m边形在顶点Ai,Aj处的内角为锐角,
所以,其余的m-2个顶点全在劣弧BiBj上,而劣弧BiBj上恰有r个P中的点,此时这m-2个顶点的取法数为Crm-2.
所以,满足题设的凸m边形的个数为
故顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数为:(2n+1)(Cn+1m-1+Cnm-1).
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